В стране обратных задач

Жизнь вносит свои коррективы в ряды точных чисел — мы пересекаемся около двух пополудни на территории Института математики и фундаментальной информатики. Игорь усаживается в крутящееся офисное кресло и выглядит вполне начальственно в строгой водолазке и тёмных брюках, только смотрит лукаво, и часы на руке — броские, с немыслимым количеством делений и стрелок, движущихся вразнобой на тройном циферблате.

— Меня заинтересовал ваш доклад в формате TED на конференции «Молодёжь и наука», посвящённый обратным задачам. А можно принцип решения такой задачи перенести на другие сферы? В истории, политике, литературе оставлено много «следов», по которым неплохо бы восстановить причины происходящего в мире.

— Я уточню: на любой факт, событие, ситуацию можно посмотреть с разных точек зрения, и на математическую задачу тоже. Есть прямой путь решения: мы знаем исходные условия задачи и стремимся получить следствие. Есть принцип обратного решения — по итогам необходимо восстановить причины, которые привели к сложившейся ситуации. Помните картинку с драконом из моего доклада? Рыцарь набрёл на следы, и ему нужно понять — какому именно из множества огнедышащих драконов они принадлежат. Зелёному? Жёлтому? Большому или малому? Необходимо собирать факты — вдруг это и не дракон был вовсе!

Тема обратных задач близка менеджерам и управленцам. Руководитель предприятия рассчитывает на определённую сумму прибыли в конце года, а вот какие условия для этого необходимо соблюсти, как выстроить взаимодействие в коллективе, какие процессы должны произойти, чтобы после знака «равно» появился желаемый финансовый результат — это и есть движение от следствия к основам.

Сложно представить, как можно выявить дефекты внутри работающего объекта ядерной промышленности или ГЭС, не имея в арсенале математических методов. Ну не останавливать же такое оборудование ради проведения эксперимента? А иногда заглянуть внутрь и вовсе невозможно.

Все мы утром смотрим прогноз погоды и не задумываемся, что метеорология — тоже сфера решения обратных задач. У синоптиков есть представление о том, как «работает» климат, есть некоторая математическая модель. У кого модель точнее, компьютер мощнее и имеется больше данных — у того наиболее объективный и правдивый прогноз. А последствия действий синоптиков-неудачников все мы испытывали на себе. Выйдешь утром из дома, настроившись на значок «солнышко», а получишь ливень и насморк.

Думаю, можно решать обратные задачи из области политики, тем более что актуальная ситуация вокруг России располагает к поиску причин происходящего.

Я считаю, математика очень близка философии: она помогает осознавать мир, касаясь его не кончиками пальцев, а интеллектом. Но есть у математики один опасный нюанс — при построении теоретической модели некоторые факты, известные лишь с некоторой (даже очень большой) долей вероятности и точности, признаются «абсолютно» верными и принимаются за аксиомы. Математическое суждение исходит из этих аксиом, принимаемых за истинное непротиворечивое знание. Если аксиома действительно такова, следствия будут верными, а вот если в аксиоме есть «поломка» — из ложной предпосылки можно вывести что угодно, к сожалению.

— Почему вы именно теорию обратных задач выбрали в качестве объекта изучения?

— У меня был и есть очень хороший учитель, мой научный консультант, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математического анализа и дифференциальных уравнений СФУ Юрий Яковлевич БЕЛОВ. Он всегда умеет заинтересовать, показать актуальность той или иной проблемы, наставить на правильный путь. Теория обратных задач охватывает очень широкий класс прикладных задач в самых разных областях знания, и здесь очень много нерешённых проблем. А Иммануил КАНТ говорил: «В любой науке столько истины, сколько в ней математики».

На самом деле мы на кафедре работаем над более конкретным вопросом — исследуем корректность коэффициентных обратных задач для уравнений диффузии/теплопроводности, различных систем уравнений теплопроводности и систем составного типа. Это, кстати, математическая модель для многих явлений. Суп, сваренный на обед, тоже можно описать при помощи математической модели. И точно знать, что будет происходить с вашим супом завтра, послезавтра и через сто миллионов лет.

— А если завтра что-то случится?

— Тогда мы придумаем новую модель! Вообще, у математиков действия происходят в рамках идеального. У нас ведь с чего всё начинается? Со слов «возьмём идеальную жидкость…». Нас, вроде как, и не должно волновать, что чай разлился, а суп кто-то съел.

— И вы не просто предпочли заниматься такой абстрактной наукой, но и студентам её преподаёте?

— Любая наука в той или иной мере абстрактна.

— Биология и генетика достаточно конкретны.

— Абстракция — это отвлечение в процессе познания от несущественных сторон и свойств объекта с целью выделения их существенных, закономерных признаков. Например, в генетике существуют многочисленные определения «полной последовательности человеческого генома». Да и физики, осчастливившие мир бозоном Хиггса, когда-то начинали с ньютоновского яблока и открытия закона всемирного тяготения.

Точно могу сказать, что построение математических моделей актуально в биофизике. Имея обширные данные о пурпурных бактериях, особенностях их жизнедеятельности, изменении количественного состава в солёных озёрах Хакасии, наши учёные решают обратную задачу и делают довольно точные расчёты того, как менялся палеоклимат тысячи и миллионы лет назад, а затем могут экстраполировать полученное знание на климат будущего.

Уверен, что решением обратных задач в области прогнозирования изменения климата и экологии региона занимались разработчики проектов Красноярской и Саяно-Шушенской ГЭС. Другой вопрос, какие организационные решения были приняты по результатам исследований, что руководители учли, а чем пожертвовали. Кстати, у нас исследованиями в сфере моделирования гидродинамических и гидрофизических процессов занимается Виктор Михайлович БЕЛОЛИПЕЦКИЙ (СФУ, ИВМ СО РАН), у него есть работы по исследованию гидротермического режима нижнего бьефа Красноярской ГЭС.

— К произведениям искусства применимы математические закономерности?

— Честно говоря, никогда не задумывался об этом. Когда я смотрю на картину, она кажется мне в первую очередь… красивой. Гармоничной. Целостной. Сложно разложить её на составные элементы, проанализировать. Конечно, когда мне объяснили, что в работах знаменитых мастеров есть определённые вертикали, демонстрирующие стремление человека к Богу, я, пожалуй, готов согласиться с этим утверждением. Наверняка, искусствоведы тоже используют математику в качестве языка.

— А как работает математика в литературном тексте?

— Широко известна история рукописи Войнича — иллюстрированного манускрипта, созданного предположительно в период Ренессанса. Доказательная база того, что перед нами осмысленный текст, написанный на неизвестном современной науке языке, основывается именно на математической закономерности: повторяемость слов этого текста соответствует закону Ципфа. Следовательно, версии о мистификации, о применении в кодексе шифрового письма и о том, что авторство принадлежит психически нездоровому человеку, уже выглядят неубедительно.

Но я обычно не думаю о математике специально, когда читаю интересную книгу или рассматриваю живописное полотно. И, несмотря на постоянную работу с числами, я порой очень плохо запоминаю даты. Чтобы вспомнить, когда у нас с супругой годовщина свадьбы, начинаю воспроизводить в памяти, какое было время года, во что я был одет… в общем, решаю обратную задачу.

— Свою дочь вы учите математике?

— Ей четыре года, она уже умеет читать и считать и, кстати, знает, что такое «параллелепипед»… ну, не так хорошо как я, конечно. Когда в развивающем центре преподаватель говорит: «Дети, на рисунке изображён круг», — моя дочь точно знает, что перед ней шар. Наверное, кто-то сочтёт, что не обязательно забивать голову ребёнка такими подробностями. Но ведь это объективная истина. Фигура-то на рисунке объёмная.

Я преподаю в Физико-математической школе СФУ, обучаю ребят из профильных классов Корпоративного университета гидроэнергетики РусГидро на базе Саяно-Шушенского филиала СФУ. Эти школьники, эти дети — они все разные. У одних ярко выраженный математический склад ума, другие приходят на занятия, чтобы научиться элементарным действиям с дробями. Если человек не собирается связывать свою жизнь с математикой, я, преподаватель, стараюсь использовать «царицу всех наук» просто как инструмент развития ума. Стройте карьеру в экономических институтах, в банковской сфере, управляйте человеческими ресурсами — математика не будет мёртвым грузом, она будет работать на ваше благосостояние.

— Над какими темами вы работаете со своими магистрантами и аспирантами? С кем из учёных взаимодействуете?

— Наша кафедра регулярно сотрудничает со специалистами лаборатории обратных задач математической физики Института математики имени С.Л. Соболева в Новосибирске. В феврале в ИМиФИ СФУ мы провели совместный круглый стол — с докладами выступили и наши, и новосибирские аспиранты, а также научные сотрудники.

Вообще, я считаю, что в Красноярске очень хорошая математическая научная школа, у всех на слуху имена Августа Карловича ЦИХА, Александра Мечиславовича КЫТМАНОВА, Владимира Викторовича ШАЙДУРОВА, Виктора Константиновича АНДРЕЕВА, Владимира Михайловича ЛЕВЧУКА и многих других.

Темы, над которыми трудятся мои магистранты и аспиранты, имеют больше фундаментальный характер — например, разрабатываются новые методы, позволяющие облегчить исследование определённых классов обратных задач или прямых задач для неклассических уравнений в частных производных.

— Быть учёным легко или тяжело?

— И легко, и тяжело одновременно. С одной стороны, ты не должен «высиживать» на работе установленные часы, у тебя есть определённая свобода внутри учебной программы, с другой — невозможно не думать об исследованиях, которые занимают твой ум. И дома, и возвращаясь в самолёте из командировки, ты всё равно думаешь, сопоставляешь, рассчитываешь, ищешь красивое решение. Конечно, нужно уметь абстрагироваться от…

— …от абстракций, в вашем случае.

— Да, от них. Нужно отдыхать, иначе заносит. Начинаешь автоматически высчитывать вероятности и предвидеть то, чего в действительности не происходит. Ругаешь своих родственников за не выключенный из сети телевизор — ведь мозг начинает вычислять, какова вероятность замыкания и пожара. Или вот ребёнок отбежал от тебя на два метра посреди улицы — и всё, начинаешь переживать о наличии нетрезвых водителей в городе или незакрытых канализационных люках. Недавно поймал себя на мысли купить огнетушитель. Вроде и не нужен, и жизнь идёт своим чередом… но хорошо ведь, чтоб он был.

Мне очень запомнился фильм «Игры разума», рассказывающий историю гениального математика Джона Форбса НЭША. Этот человек стал лауреатом Нобелевской премии по экономике, был награждён «За анализ равновесия в теории некооперативных игр». К сожалению, долгие годы мистер Нэш страдал шизофренией, имел вымышленных друзей. Меня поражает его судьба и страсть к научному знанию, которую не смогла погасить даже болезнь. Работа, удостоенная высшей награды Шведской королевской академии наук, была написана им в двадцать один год.

— Вы за два года подготовили и защитили кандидатскую диссертацию, а теперь на пороге докторская…

— Да, я окончил докторантуру под руководством Ю.Я. Белова. Сейчас решается вопрос о представлении к защите моей докторской диссертации — к сожалению, во многих местах (и в Красноярске, и даже в Новосибирске) приостановлена работа профильных советов.

В целом, хотелось бы, чтобы на базе СФУ чаще проводились математические научные конференции, особенно в области актуальных проблем неклассических уравнений, математического моделирования, вычислительных и компьютерных технологий; семинары, конкурсы, круглые столы, имеющие статус международных или российских. Последнее событие такого рода ИМиФИ проводил в 2008 году. Должен заметить, что единой стройной теории обратных задач в мире пока не существует, в своей монографии «Обратные и некорректные задачи» С.И. КАБАНИХИН привёл забавное замечание: если задать в поисковике термин «inverse problems» (англ. «обратные задачи»), можно получить впечатляющее количество ссылок на зарубежные учебники, научные журналы, мероприятия. А вот в отечественной науке ситуация несколько иная — попробуйте, введите запрос на кириллице. Но мы работаем, чтобы это исправить.

— Два года назад вы стали победителем конкурса ПОТАНИНА «Преподаватель онлайн». Как это повлияло на ваш преподавательский стиль?

— С Фондом В. Потанина я знаком со студенческих времён, но в этот раз нужно было разработать нечто особенное — создать собственный образовательный веб-ресурс, который будет использоваться в процессе обучения. Это не библиотека рекомендуемой литературы и не склад готовых решений, но хороший путеводитель по толстым учебникам, которые (и это не секрет) многие современные первокурсники не читают. Студенту нужен быстрый и бесплатный доступ к необходимой информации по принципу Википедии, и он может его получить, если помнит, по крайней мере, как зовут преподавателя дисциплины.

Раздел сайта igor.frolenkov.ru, который носит кодовое название «Онлайн-лаборатория», доступен в любое время суток, к нему удобно обращаться, например, во время подготовки к экзаменам или для прохождения специализации — благодаря буквально пошаговой инструкции студент не потеряется, гарантированно прочтёт и усвоит нужные дефиниции. Несмотря на то, что срок действия гранта истёк, я продолжаю обновлять сайт, он «живой», развивающийся. Иногда выкладываю вечером задачку, которую студенты не успели решить на занятии, и начисляю бонусы первому, кто опубликует правильный ответ. Это интересно, весело, интерактивно, наконец. И всегда, если я успеваю проверить контрольные или экзаменационные работы раньше запланированного срока, сразу публикую итоги на сайте — для студентов это лучше, чем быть в неизвестности до окончания сессии…

Сейчас эпоха социальных сетей. Ребята «лайкают» и «делятся» моими учебными материалами, вступают в переписку. Иногда получаются небольшие индивидуальные онлайн-консультации. Я отслеживаю статистику посещений — перед каждой из четырёх годовых мини-сессий интерес к сайту резко возрастает, фиксируется до шестидесяти посещений в сутки. Завёл раздел, посвящённый достижениям моих учеников: публикую их грамоты, дипломы, сертификаты. Обязательно размещаю квалификационные работы своих дипломников, магистрантов и аспирантов, чтобы последующие поколения молодых учёных могли беспрепятственно обращаться к уже накопленному опыту, методологии решения задач.

В последнее время стараюсь выкладывать на ресурсе экзаменационные билеты прошлых лет, примеры контрольных работ, чтобы студенты меньше переживали и представляли, что их ожидает во время сессии.

Наконец, персональный сайт — это хорошая возможность продвижения информации обо мне как преподавателе, специалисте, учёном. На моём персональном сайте выложены скан-копии большинства моих публикаций, это позволяет мне при удалённом обсуждении тех или иных проблем дать коллеге ссылку на свою статью схожей тематики (если такая, конечно, есть). Кстати, в 2013 году раздел «Онлайн-лаборатория» моего сайта удостоен диплома I степени на конкурсе сайтов СФУ в номинации «Лучший сайт подразделения», я очень этим горжусь!

— Может, вам сразу перейти на систему онлайн-тестирования вместо классических зачётов и экзаменов?

— Не получится. Не потому, что это технически невозможно, просто математики более всего ценят сам процесс решения, ход мысли. Наверняка вам школьный учитель алгебры говорил: не так важен ответ, как путь, которым ты к нему шёл. Исправить ошибку, если что-то пойдёт не так, проще в диалоге с преподавателем, чем в электронном тесте. Вообще, главный инструмент математика — вот он (берёт со стола обычную шариковую ручку. — Т.М.). Достаточно обзавестись ещё листом бумаги, и всё у вас есть для того, чтобы решить любую из множества задач. Математика ведь близка не только философии, но и творчеству.

Татьяна МОРДВИНОВА