В дверь без стука заглядывает заведующий лабораторией комплексного анализа и дифференциальных уравнений СФУ, обладатель степени PhD Стокгольмского университета (Швеция) Алексей ЩУПЛЕВ. Лаборатория открылась ещё в июне, и Алексей приглашает в гости, а ещё — на встречу с руководителем одной из научных школ СФУ профессором Августом Карловичем ЦИХОМ и членом научного коллектива профессором Александром Анатольевичем ШЛАПУНОВЫМ. Он и оказывается моим первым собеседником.
— Александр Анатольевич, чем вообще математики занимаются? — начинаю я, можно сказать, с насущного. — Строители возводят дома, доктора — лечат, а вы?
— Вообще, это некорректный вопрос, — живо отзывается Александр. — Современная математика настолько разнообразна, что порой понять друг друга двум математикам сложнее, чем, скажем, наладить контакт с физиками или биологами. Это даже не сравнить с диалектами внутри одного языка, нет. В идеале математики должны друг друга понимать, но, как говорят в нашей профессиональной среде, последний энциклопедист, который был одинаково хорош и в алгебре, и в геометрии, и в математическом анализе — академик Андрей Николаевич КОЛМОГОРОВ, умер в 1986 году, а вместе с ним умерло синтетическое, единое понимание этой науки. Он проводил исследования и писал статьи в любом разделе математики, но у современного поколения специалистов такая способность утрачена.
А. Шлапунов
Проблема в том, что каждая область математики имеет солидный возраст: геометрии — тысяча лет, относительно «молодому» матанализу — триста. Круг задач внутри каждой из этих областей сузился до такой степени, что мелкие задачки никого уже не интересуют, а крупные задачи, которые до сих пор не обрели решения, считаются по умолчанию нерешаемыми. Раз никто не смог с ними справиться за столетия — нам-то это зачем, думают математики. Из ситуации следует, что насущные и прорывные задачи, которые, с одной стороны, имеют решение, а с другой — практический смысл, лежат «на стыке» двух-трёх наук. Геометрии, физики, информационных технологий, например.
Вы знаете, как родилась математика? Человеку нужно было объяснить мир вокруг себя, чтобы выжить.
— Так можно сказать и о философии, — решаюсь вставить реплику.
— Давайте не будем трогать философию! — восклицает Александр, скользя взглядом где-то над моей головой. — Человек — существо эволюционное, и если мы выжили в этом мире, значит, поняли основные закономерности его функционирования. Следовательно, математика в нас «генетически» заложена. Да, есть гуманитарные способы познания, есть даже вовсе ненаучные. Но мне всё же кажется, что у нас в голове имеется некая математическая «прошивка».
Слушая Александра, рассматриваю «чисто математическую лабораторию». Небольшое пространство с парой окон. Много компьютеров и офисной техники. Разномастные стулья вокруг длинного стола для собраний. Неожиданно на скучно-белой стене — всполох радуги: над одним из мониторов прикреплён рисунок Жар-птицы, выполненный явно детской рукой. А вот и второе цветное пятно, серо-красное. Это сделанная вручную репродукция гравюры нидерландского художника Мориса ЭШЕРА. Рыбы, выплыв из одного водоворота, попадают во второй и, погружаясь в него, постепенно уменьшаются в размерах, а потом и вовсе исчезают, заполняя собой все пространство рисунка. Именно так изменяются форма и размеры фигуры при движении в модели ПУАНКАРЕ плоскости ЛОБАЧЕВСКОГО. Известно, что мастер не раз прибегал в своих работах к математическим абстракциям, неевклидовым геометриям пространства и сумел изобразить риманову поверхность (специальные поверхности в комплексном анализе), хотя и не имел математического образования.
— Был такой момент в математике, когда она перестала понимать свои основания, — продолжает Александр. В начале 20 века вышел трёхтомный труд по логике и философии математики Альфреда Норта УАЙТХЕДА и Бертрана РАССЕЛА «Основания математики». В принципе, Расселу и Уайтхеду удалось показать, что вся математика сводится к логике с помощью набора аксиом и нескольких основных понятий. Это направление в математике и философии получило название логицизма. Это было потрясение для материалистически настроенных учёных кругов начала 20 века в Великобритании и Франции! Выходило, что самая точная и абстрактная из наук имеет основанием логику, то есть человеческий разум. Есть о чём задуматься!
Конечно, сейчас мы понимаем, что это не совсем так. Все логические способности человеческого мышления так или иначе приобретены практическим путём ввиду объективного стремления человека выжить…
Фраза повисает в воздухе, поскольку в лаборатории появляется заведующий кафедрой теории функций Института математики и фундаментальной информатики СФУ Август Карлович Цих, и Александр, обращаясь к нему, с улыбкой констатирует: не сумел исчерпывающе ответить на первый вопрос. Коллеги, кстати, составляют удивительный контраст. Август Карлович кажется абсолютно спокойным и даже отрешённым. Он бесшумно усаживается во главе стола, опускает на старую столешницу ладони, сомкнутые самыми кончиками пальцев — это не «замок», но пока и не открытость. Смотрит внимательно, изучающе.
Прошу Августа Карловича рассказать о конкретном: чем именно занимаются математики в СФУ, особенно учитывая грант, где заявку университета выбрали из более чем сорока претендентов.
— Название гранта «Многомерный комплексный анализ и дифференциальные уравнения» подразумевает два основных направления исследований.
Комплексный анализ, на мой взгляд, славен изяществом и полнотой. Зачастую решения в комплексной области могут не иметь физического смысла, но несомненное достоинство этого вида анализа, пожалуй, в том, что с его помощью легче ищутся нужные теоремы и утверждения.
Второе направление — дифференциальные уравнения, в свою очередь, имеет давнюю историю. Впервые необходимость их существования стала очевидна Исааку НЬЮТОНУ и Готфриду ЛЕЙБНИЦУ. Ньютон был чрезвычайно честолюбив — он долго и упорно пытался математически обосновать три эмпирических закона Иоганна КЕПЛЕРА. И в итоге пришёл к трём простым законам, носящим его имя, закону всемирного тяготения и математическому аппарату, при помощи которого из этих законов выводилась почти вся современная ему физика.
…Знаете, что мне трудно понять? Как к открытию дифференциальных уравнений пришёл немецкий философ, логик, юрист и дипломат Лейбниц.
— Он же был скорее лингвистом, — комментирует Александр Шлапунов. — И дипломатом. Значит, искал наиболее корректные и непротиворечивые способы перевода с одного языка на другой. Ему понадобился универсальный рациональный язык, на котором можно вести документооборот. Он изучал логику, и, как мы уже выяснили, логика близка математике…
А.Цих
— Ньютон был тяжеловесен, он не пользовался комплексными числами и не признавал их, а Лейбниц решил, что вреда от этих чисел не будет, — продолжает А.К. Цих. — Ну, а «огранил» теорию дифференциальных уравнений, конечно, ЛАПЛАС, разработавший модель небесной механики.
— Вы говорите о математике так, будто перед учёными стоит чемодан с инструментами, — пытаюсь я подобрать «вещественный» образ. — И Ньютону понадобился всего лишь молоток, а Лейбницу и Лапласу ещё и набор крестовых и шлицевых отвёрток.
Август Карлович впервые улыбается, а Александр тут же сообщает, что сравнивать науку с инструментами — это ещё аристотелевская традиция.
— Одна из основных задач комплексного анализа, которую мы рассматриваем, это теория алгебраических функций, — говорит профессор Цих. — Есть надежда, что эта теория углубит существующие методы кодирования информации. Основная проблема здесь — Тринадцатая проблема ГИЛЬБЕРТА с полной драматизма историей. Эта проблема в виде гипотезы утверждает: не существует «хороших» функций многих переменных. Все «хорошие» функции, в конечном счёте, можно описать при помощи функций всего двух переменных. Если в ходе наших исследований подтвердится, что любая алгебраическая, то есть «хорошая», функция представляется в виде суперпозиции алгебраических функций двух переменных, появится соблазн расшифровки этой суперпозиции: информацию можно будет передавать в виде функции многих переменных, настолько «закрученной» (я невольно возвращаюсь взглядом к эшеровским рыбам на стене, — прим. автора), что «раскручивать» ее можно будет, только зная процесс декомпозиции этой функции. В целом, если объяснять эту задачу простыми словами, современная теория информации существенно обогатится благодаря нашим работам. Что касается практического смысла — мы можем создать новую схему работы с информацией, а информация — это краеугольный камень цивилизации в XXI веке.
Современная криптография мало что умеет на основе традиционных рациональных алгоритмов. Представьте себе, алгебра очень «бедная» наука. Она как чёрт ладана боится бесконечного числа операций, все её понятия основаны на конечном числе процедур. Конечно, в этом заключается и её сила, но всё чаще в теории кодирования обращаются к трансцендентным (непрерывным) методам анализа — не всё в математике и в жизни можно «разложить по полочкам» с помощью конечного числа процедур. Математический анализ в некотором роде иррационален, позволяя и бесконечное число процедур, и предельные переходы. И как только мы обращаемся к предельному переходу (рассматриваем бесконечное количество элементов), устремляем какие-то элементы в бесконечность — это приводит к трансцендентности.
Когда я интересуюсь областью применения дифференциальных уравнений, отвечать начинает Александр Шлапунов:
— Эти уравнения возникают тогда, когда нужно предсказать и описать уравнением движение какого-то тела. Есть понятие средней скорости, но и самолёты, и автомобили в каждой точке времени свою скорость меняют. Давайте начнём с самого простого: легче всего предсказать движение небесных тел…
— Да, движение планет можно спрогнозировать на миллионы лет вперёд, — подхватывает Август Карлович. — Понимаете, планеты Солнечной системы гораздо более предсказуемы, чем автомобили на дорогах города. Александр Анатольевич, например, из принципа не покупает автомобиль… Или вот есть проблема сверхбыстрого движения в вязкой среде (подводные лодки так плавают). А движение живых организмов — ну, это вообще серьёзный вызов, полёт самолёта управляем и предсказуем, а биологический организм нет. Как описывать его поведение? Нужно его рассматривать отдельно или можно изучать только группы организмов, используя методы статистики? В последнее время, кстати, дифференциальные уравнения пытаются применить в недетерминированных моделях, учитывающих случайность и неопределенность.
— Почему мы говорим «вызов»? Потому что ранее математика существовала в связке с физикой, астрономией, химией, а в XXI веке ей приходится сотрудничать с новыми «пиковыми» науками — медициной, генетикой, информатикой, — уточняет Александр Шлапунов.
Профессор Цих предлагает:
— Давайте перечислим области знаний, в которых так или иначе востребовано решение дифференциальных уравнений: это астрономия, гидродинамика, теория упругости, инженерные конструкции… Есть даже математическая теория кровообращения...
…Я вижу, вам вновь хочется вернуться в русло «практического смысла». Но, поймите, последние двадцать лет в связи с затуханием российского военно-промышленного комплекса прикладная математика не была востребована, закрылось множество НИИ, и наши интересы устремились к фундаментальным задачам. Сейчас, возможно, ситуация изменится.
Так вот, схему применения дифуров обеспечили Ньютон, Лаплас и другие учёные эпохи детерминизма. Тогда же появилась так называемая задача КОШИ, состоящая в нахождении решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям. Допустим, если бы мы сумели сейчас остановить планеты Солнечной системы, можно было бы рассчитать траекторию их движения, понять, как они двигались в прошлом и будут двигаться в будущем, поскольку эта траектория удовлетворяет дифференциальному уравнению, чьё решение можно восстановить, зная положение и скорость каждой из планет в данный момент.
— Вы говорите об этом едва ли не с восторгом, — замечаю я.
На столе лежит целая упаковка сладостей. Никто, кроме меня, не обращает на них внимания, как будто у хозяев лаборатории свои, интеллектуальные «конфеты», от которых блестят глаза. Как у Александра Шлапунова, подхватывающего и развивающего мысль:
— Конечно, ещё Ньютон об этом писал — что он ничего не выдумывает, а открывает людям Славу Господа! С этого учёного началась эпоха моделирования природных процессов. Не было никакого падающего яблока, это всё сказки. Когда Ньютону удалось установить математическую аксиоматику для эмпирических законов Кеплера, он радовался, наверное, больше, чем Архимед, кричавший на улице «Эврика!». Только подумайте — математику удалось обозначить основания для самой физики! Представляете?
Я стараюсь представить. Кто-то из сотрудников, случайно зашедших в лабораторию, тихо хмыкает над разворачивающейся беседой и, кажется, идёт пить чай в крохотную комнатку по соседству.
Мобильный телефон профессора Циха оживает и выдаёт ритмичные звуки знаменитого «Болеро» РАВЕЛЯ. Пока Август Карлович отвечает на звонок, задаю Александру Анатольевичу ещё один волнующий лично меня вопрос: как работают математики? Ведь у них нет «хрестоматийного» лабораторного оборудования — никаких устрашающего вида колб и реторт, никаких животных из вивария или «порхающих» в воде дафний.
Александр делает глаза человека, рассказывающего страшилку у ночного костра:
— Вы только не говорите никому, это секрет, но лучше всего математику работается… лёжа (смеётся). Если серьёзно, есть два основных типа задач. Одни решаешь автоматически, как сапожник тачает сапоги. Понятно, что чем старше становишься, тем больше стараешься их избегать — не интересно. Когда наш научно-творческий коллектив формировал грантовую заявку, мы все, я уверен, хотели встретиться лицом к лицу с другими задачами — особенными, которые никто до нас ещё не решал. Грант не дадут за то, что умеют все, нужен эксклюзив. И вот мы выбрали направление, где… непонятно. Грант творческий. И даёт мощный стимул к развитию в первую очередь нашим аспирантам, молодым учёным.
Верно заметили: математическая лаборатория — это не лаборатория биологов. У них по двадцать лаборантов трудится за раз, они постоянно меняют состав научного коллектива, работают над практическими вещами. А математики пишут одну-две статьи в год, индекс цитируемости невелик в сравнении с теми же биофизиками и медиками… Это просто наши реалии.
Вспоминая негативные впечатления от изучения математики в школе, интересуюсь, как обнаружить и не загубить в ребёнке имеющиеся (возможно) способности к математическому мышлению.
— Это вам с учителем не повезло, — тут же включается Александр Шлапунов.
— Да нет, это обычная история, — возражает Август Карлович. — Моя внучатая племянница не в состоянии выучить физику, хотя прекрасно справляется с гуманитарными дисциплинами. Тем не менее я вам объясню одну вещь из области моделирования, и вы поймёте, гарантирую.
Профессор берёт чистый лист бумаги:
— Вам известно, кто изобрёл медицинский томограф? Математики. Только они могли взвешенно подойти к этой проблеме практически одновременно с изобретателями рентгеновского аппарата. Уже была идея лазера, так почему бы не выпустить узконаправленный поток излучения вдоль прямой и измерить его затухание? (Рисует «идеальное» лёгкое, — прим. автора). Вот система координат, все точки лёгкого имеют координаты Х и У. Затемнение в лёгком — это функция двух переменных Х и У, она неизвестна. Если мы будем знать затухание излучения вдоль каждой прямой (при прохождении через затемнённый участок излучение затухает сильнее), то сможем полностью восстановить эту функцию, причём однозначно! Потом подключим вычислительные методы и поймём, вдоль каких лучей достаточно сделать измерения, чтобы приближённо восстановить эту функцию.
Австриец Иоганн РАДОН ещё в начале XX века ввёл интегральное преобразование, при помощи которого функция однозначно восстанавливается, если известны ее интегралы вдоль всех прямых. А первый томограф был построен только в 1963 году: нужна была технология получения пучка излучения, инженер, хорошо разбирающийся в математике, и компьютер для обработки результатов измерений. Мало, кто знает об этой истории, но без математики не было бы всех этих жизней, спасённых современными методами МРТ-обследования.
Напоследок задаю вопрос простой, но неоднозначный: нужно ли вообще популяризировать такую науку, как математика. Вновь отвечают оба собеседника, перекликаясь друг с другом, как линии музыкальной полифонии.
— Нужно, потому что иначе невозможно донести ценность наших исследований до чиновников, налогоплательщиков… детей, наконец, — говорит Шлапунов. — В Институт математики и фундаментальной информатики СФУ следует приходить сразу после школы, в 16-17 лет, поскольку математика требует «чистоты мозга». Любая другая деятельность в практической плоскости необратимо меняет восприятие. Взрослым математику практически не осилить с нуля… Необходима природная склонность, желание работать с абстрактными материями. Это как с балетом — там нужна «физика»: хорошие ноги, конституция, определённый рост. Вот и мы своих видим, выделяем, например, на уровне Физико-математической школы СФУ.
— Популяризация должна «заманить» в математический лес, а дальше уже начинается собственно наука, — подытоживает профессор Цих. — Она нелегка и требует старания и терпения. А вы, кстати, продемонстрировали марафонский характер за эти полтора часа, необходимый любому исследователю. Мы тоже очень упорные и любопытные ко всему новому люди.
Татьяна МОРДВИНОВА